KHẢO SÁT ĐẲNG THỨC A² = B² + C² (Định lý Pythagore)

Lời nói đầu : Đẳng thức  a² =b ² + c² khá quen thuộc. Tuy nhiên khi đề cập đến các giá trị là số tự nhiên của đẳng thức, thông thường người ta chỉ quen với các số 3, 4, 5 hoặc 3k, 4k, 5k. Thật ra đẳng thức a² = b² + c² có vô số giá trị số tự nhiên. Bài khảo sát nầy nói đến vấn đề đó.

Bài Khảo sát:
Cho đẳng thức a² = b² + c²
đặt  t = a - b
hay a  = b + t
bình phương 2 vế
a² = (b + t)² = b² + t² + 2bt
So sánh đẳng thức thu được với đẳng thức gốc, ta có
b² + c² = b² + t² + 2bt
c² = t² + 2bt
hay
b = (c² - t²) / 2t       (1)

A- Khi cho t = 1 vào (1),  ta thu được
b = (c² - 1) / 2       (2)
ta thấy ngay, chỉ thay giá trị của c, ta thu được các giá trị của b và a tương ứng.

 Điều kiện để các giá trị là số tự nhiên:
     Khi t = số tự nhiên lẽ  thì c = số tự nhiên lẽ nhân với t
     Thực hành:
thế c = 3 vào (2), ta có b = 4   và a = 5;
thế c = 5 vào (2), ta có b =12 và a = 13… vv

B- Khi cho t = 2 vào (1), ta thu được
b = (c² - 4)/4        (3)

Điều kiện để các giá trị là số tự nhiên:
     Khi t = số tự nhiên chẵn thì  c = bội số của t
     Thực hành: thế c = 4 vào (3), ta có b = 3 và a = 5
                        thế c = 6 vào (3), ta có b = 8 và a =10… vv

C- Ta có thể cho giá trị t là một số tự nhiên bất kỳ ≠ 0 ta sẽ thu được các giá trị số tự nhiên của a, b, c thỏa đẳng thức a² = b² + c².                      
     Thực hành:
     thử cho giá trị t = 13 thế vào (1)  b = (c² - 13²) / 2 x 13
     khi thế c = 3t =39 thì b = 52 và a = 65… vv

D-Tổng quát hóa bài giải

Nhận xét trong cả 2 trường hợp A và B nêu trên (khi cho t là số tự nhiên lẽ hoặc chẵn), điều kiện của c bao giờ cũng là bội số của t.
ta viết 
c = kt
Thế c = kt vào (1),
ta có
b = [(kt)² - t²] / 2t
Đơn giản hóa, ta thu được
b = t (k² - 1) / 2

Ta phát biểu:

Khi chọn t  > 0 là một số tự nhiên bất kỳ thì các giá trị số tự nhiên của a, b và c trong đẳng thức a² = b² + c² được xác định như sau:
c  =  kt
a =  b + t
b = t (k² - 1) / 2
mà k cũng là số tự nhiên bất kỳ với điều kiện k  > 1 và k là số lẽ nếu t là số lẽ.

Thực hành t = 26
c = 2t = 52, b = 26(2² - 1) / 2 = 39, a = 39 + 26 = 65
c = 3t = 78, b = 26(3² - 1) / 2 = 104, a = 104 + 26 = 130…vv

(Bài nầy tôi viết từ năm 1998, xuất bản rãi rác. Trương Phú)