Giải toán cổ: Cầu phương hình tròn

Đề: Cho một hình tròn bán kính là R. Dùng thuớc kẻ và Compa dựng một hình vuông có diện tích tương đương.

Lời nói đầu:  - Diện tích hình tròn: Pi R²

                     - Cạnh hình vuông có diện tích tương đương: R căn Pi

                     - Bài giải sau đây dùng giá trị của Pi = 3,14  (Dùng 2 số lẽ)

Bài giải:

Hình tròn cho truớc tâm O, bán kính R.

1- Dựng hình vuông ngoại tiếp ABCD.

Từ L, trung điểm của cạnh AB và N, trung điểm của cạnh AD ta vẽ 2 đuờng kính LM và NP thẳng góc với nhau, chia hình vuông ABCD thành 4 hình vuông nhỏ.

2- Từ N, dùng compa vẽ 1 cung tròn bán kính là R, sẽ cắt cung NL tại điểm Q.

Nối PQ.

Giá trị của đoạn PQ = R căn 3  (1)

(tam giác vuông NQP có NQ = R, NP = 2R)

3- PQ cắt LM tại H. Từ H, kẻ một đuờng song song với NP,sẽ cắt cung LP tại I,Nối MI.

       MI sẽ có giá trị là R căn Pi, đây là cạnh hình vuông cần tìm.

4-Chứng minh:

Tam giác vuông LIM có LM = 2R, nếu MI = RcănPi thì LI = Rcăn(4-Pi) và MH = Pi.R/2.

Chứng minh đuợc MH = Pi.R/2 tức là chứng minh minh đuợc MI = RcănPi

Từ Q, hạ đuờng thẳng góc xuống NP tại K.

Tam giác vuông PKQ tính đuợc

          PQ = R căn 3         (1)

          KQ = (R căn 3)/2   (KQ là đường cao của tam giác NPQ với 3 cạnh đã biết)

          KP = 3R/2.

Suy ra OH = R/căn 3       (tỉ lệ thức 2 tam giác vuông đồng dạng POH và PKQ

với  căn 3 = 1,73

thì OH = 0,57R

MH = OH + OM = 0,57R + R = 1,57 R

Với Pi= 3,14 thì MH = Pi R/2.

Vậy MI= Rcăn Pi

Trương Phú